Parte 1

1.0. CONCEPTOS DE VIBRACIÓN Y DE IMPACTO

Vibración es un término que describe la oscilación de un sistema mecánico. Se define por la frecuencia ( frecuencias ) y la amplitud. En sentido genérico, vibración es el movimiento de un objeto físico o estructura o bien la fuerza de oscilación aplicada a un sistema mecánico. La evolución temporal de la vibración puede considerarse en forma senoidal o armónica simple. La frecuencia se define en términos de ciclos por unidad de tiempo, y la amplitud es el valor máximo de la cantidad senoidal. Las vibraciones encontradas en la práctica no suelen tener este modelo regular, pueden consistir en una combinación de varias cantidades senoidales, cada una teniendo diferente frecuencia y amplitud. Si cada frecuencia componente es un múltiplo entero de una frecuencia más baja, la vibración se repite después de un determinado intervalo de tiempo y se llama periódica. Si no hay una relación entera entre las frecuencias componentes, no hay periodicidad y la vibración se dice compleja.

La vibración puede describirse como determinística o como aleatoria. Si es determinística obedece a un modelo establecido de manera que el valor de la vibración en cualquier instante futuro es completamente predecible a partir de la historia pasada. Si la vibración es aleatoria, su valor futuro es impredecible excepto sobre una base probabilística. La vibración aleatoria se define en términos estadísticos. El análisis de las vibraciones aleatorias implica ciertos conceptos físicos que son diferentes de los aplicados para el análisis de las vibraciones determinísticas.

La vibración de una estructura física se interpreta frecuentemente en términos de un modelo constituido por una masa y un muelle. La vibración de este modelo o sistema puede ser libre o forzada. En la vibración libre, no se añade energía al sistema sino que la vibración es el resultado de una perturbación inicial. Un sistema ideal puede considerarse a efectos matemáticos como uno no amortiguado; en este tipo de sistema la vibración libre se considera que se mantiene indefinidamente. En un sistema de tipo real, el amortiguamiento ( disipación de energía ) causa que la amplitud de la vibración libre disminuya continuamente hasta un valor despreciable. Tal vibración libre se la conoce algunas veces como vibración transitoria.

La vibración forzada, por contraposición a la vibración libre, se mantiene en condiciones estacionarias puesto que continuamente se suministra energía al sistema para compensar la que se disipa en el sistema por efecto del amortiguamiento. En general, la frecuencia a la cual se suministra energía ( frecuencia de la fuerza ) aparece en la vibración del sistema. La vibración forzada puede ser determinista o aleatoria. En ambos casos, la vibración del sistema depende de la relación de la excitación o función de la fuerza y las propiedades del sistema. Esta relación es una característica preeminente de los aspectos analíticos de la vibración.

El impacto guarda una cierta relación con la vibración en la cual la excitación es no periódica, tal como un pulso, un escalón o una vibración transitoria. La palabra impacto implica un grado de repentización y severidad. Estos términos son relativos en vez de medidas absolutas de la característica. Desde el punto de vista analítico, la característica importante del impacto es que el movimiento del sistema sobre el cual actúa el impacto incluye la frecuencia del impacto de excitación y la frecuencia natural del sistema. Si la excitación es breve, la duración del movimiento del sistema es la vibración libre a la frecuencia natural.

La tecnología del impacto y de la vibración incluye aspectos teóricos y experimentales. Así, los métodos de análisis y los instrumentos para la medición del impacto y de la vibración tienen una importancia primordial. Los resultados del análisis y de la medición se usan para evaluar el impacto y la vibración. El impacto y/o la vibración pueden ser ambos deseados o no deseados, dependiendo de las circunstancias. Por ejemplo, la vibración incluye el modo primario de funcionamiento de una máquina cribadora. Sin embargo, más frecuentemente, el impacto y la vibración son no deseados. Entonces, el objetivo es eliminar o reducir su severidad o, alternativamente, diseñar equipos que reduzcan sus efectos. Estos procedimientos son los que constituyen la base para controlar el impacto o la vibración.

2.0. CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO

Las funciones armónicas son las que se emplean frecuentemente para el análisis del impacto y de la vibración. Un cuerpo que experimenta un movimiento armónico simple tiene un modelo de desplazamiento definido por

x = x₀ sen (2f) t = x₀ sen t

donde f es la frecuencia del movimiento armónico simple, = 2f es la correspondiente frecuencia angular o pulsación, y x₀ es la amplitud del desplazamiento.

La velocidad x' y la aceleración x" de un cuerpo se determinan por diferenciación del desplazamiento una y dos veces, respectivamente

x' = x₀ (2f) cos (2f) t = x₀ cos t

x" = -x₀ (2f)² sen (2f) t = x₀² sen t

El valor absoluto máximo del desplazamiento, velocidad y aceleración del cuerpo sometido a movimiento armónico tiene lugar cuando las funciones trigonométricas anteriores valen la unidad. Estos valores se conocen, respectivamente, como amplitud de desplazamiento, velocidad y aceleración. Se definen matemáticamente de la siguiente manera

x₀ = x₀ ; x'₀ = (2f) x₀ ; x"₀ = (2f)² x₀

La amplitud del desplazamiento x₀ se suele expresar en metros, centímetros o milímetros. De acuerdo con esto, la amplitud de la velocidad x'₀ se expresa en metros, centímetros o milímetros por segundo, y la aceleración x"₀ se expresa en metros, centímetros o milímetros por segundo al cuadrado o como múltiplo adimensional de la aceleración de la gravedad g, siendo g = 9,8 m/s².

3.0. TEORÍA BÁSICA DE LA VIBRACIÓN

Los sistemas vibratorios están constituidos por elementos para almacenar energía potencial (muelle), elementos para almacenar energía cinética (masa o inercia) y elementos mediante los cuales la energía se disipa gradualmente (amortiguador). La vibración de un sistema implica la transferencia alternativa de energía entre las formas potencial y cinética. En un sistema amortiguado una parte de la energía se disipa en cada ciclo de vibración y debe ser reemplazada desde una fuente externa si se desea mantener una vibración estacionaria. Aunque una única estructura física puede almacenar tanto energía cinética como potencial y puede disipar energía, se van a considerar elementos simples tales como muelles ideales, masas y amortiguadores en los cuales cada elemento tiene una sola función. En movimiento traslacional, los desplazamientos se definen como distancias lineales; en movimiento rotacional, los desplazamientos se definen como giros angulares.

4.0. MOVIMIENTO TRASLACIONAL

4.1. Muelle. En un muelle el cambio de longitud es proporcional a la fuerza que actúa a lo largo de su longitud

F = k (x₁ - x₂)

El muelle ideal se considera desprovisto de masa, así, la fuerza que actúa en un extremo es igual a la fuerza que actúa en el otro extremo. La constante de proporcionalidad k se denomina constante del muelle o rigidez.

4.2. Masa. La masa de un cuerpo rígido cuya aceleración es x" de acuerdo con la segunda ley de Newton es proporcional a la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la masa

F = m x"

4.3. Amortiguador. En un amortiguador viscoso, la fuerza aplicada es proporcional a la velocidad relativa de sus puntos de unión

F = c (x'₁ - x'₂)

La constante c es el coeficiente de amortiguamiento, el cual es el parámetro característico del amortiguador. Un amortiguador ideal se considera que no tiene masa, de esta manera la fuerza aplicada en cada uno de sus extremos es igual y opuesta a la fuerza en el otro extremo.

5.0. MOVIMIENTO ROTATIVO

Los elementos de un sistema mecánico que se mueven con rotación pura de las partes del mismo son totalmente análogos a los elementos de un sistema que se mueve con traslaciones puras. La propiedad de un sistema rotativo que almacena energía cinética es la inercia; los coeficientes de rigidez y de amortiguamiento se definen respecto al desplazamiento angular y a la velocidad angular, respectivamente.

Las relaciones matemáticas correspondientes son:

Ley del muelle, T = k_r (₁ - ₂), donde T es el par de giro, k_r el coeficiente de torsión elástica, y el desplazamiento angular.

Ley de inercia, T = I ", donde I es el momento de inercia del cuerpo y " la aceleración angular.

Ley del amortiguador, T = c_r ( '₁ - '₂), donde c_r es el coeficiente de amortiguamiento y ' la velocidad angular.

Las ecuaciones matemáticas para los sistemas rotativos se pueden escribir por analogía con las ecuaciones de los sistemas traslacionales.

6.0. SISTEMAS CON UN SÓLO GRADO DE LIBERTAD

El sistema vibratorio más simple posible consiste en una masa m unida mediante un muelle de coeficiente elástico k a un soporte inmóvil. La masa está limitada a un movimiento traslacional en la dirección del eje X, de manera que el cambio de posición desde una referencia inicial se describe completamente por el valor de una cantidad única x. Por esta razón se denomina sistema con un sólo grado de libertad. Si la masa se desplaza desde su posición de equilibrio y seguidamente se la deja libre para vibrar, sin intervención de fuerzas externas, se dice que tiene una vibración libre. La vibración también puede ser forzada, por ejemplo, cuando la fuerza continúa actuando sobre la masa, la bancada o cimentación.

6.1. Vibración libre sin amortiguamiento

Figura 1

Considerando en primer lugar la vibración libre de un sistema no amortiguado representado en la figura 1, la ecuación de Newton permite escribir para la masa m que la fuerza mx" ejercida por la masa sobre el muelle es igual y opuesta a la fuerza kx aplicada por el muelle sobre la masa

mx" + kx = 0

donde x = 0 define la posición de equilibrio de la masa.

La solución de la ecuación diferencial anterior es

x = A sent + B cos t

donde el término _n = es la frecuencia natural angular o pulsación.

La oscilación senoidal de la masa se repite continuamente y el intervalo de tiempo para completar un ciclo se llama periodo

El recíproco del periodo es la frecuencia natural

f_n =

donde W = mg es el peso del cuerpo sólido que forma la masa del sistema.

En la ecuación, B es el valor de x para el instante t = 0 y el valor de A es igual a x' / _n para el instante t = 0. Por tanto, las condiciones del desplazamiento y de la velocidad que existen en el instante cero determinan completamente la oscilación.

La ecuación del desplazamiento del movimiento oscilatorio también se puede escribir como

x = A sen _nt + B cos _nt = C sen (_nt + )

donde C = (A² + B²)½ y = arc tg B/A. El ángulo se llama ángulo de fase.

La deflexión estática de un sistema único masa-muelle es la deflexión del muelle como consecuencia de la fuerza de la gravedad sobre la masa, = mg / k. Sustituyendo esta relación en la expresión de la frecuencia natural, resulta

f_n =

Esta relación se aplica solamente cuando el sistema considerado es lineal y elástico. Por ejemplo, los amortiguadores de goma tienden a no ser lineales y presentan una rigidez dinámica que difiere de la rigidez estática, de aquí que la ecuación anterior se aplique con reservas en este caso.

6.2. Vibración libre con amortiguamiento

Figura 2

La ecuación diferencial del movimiento de la masa m del sistema representado en la figura 2 es

mx" + cx' + kx = 0

La forma de la solución de esta ecuación depende de si la constante de amortiguamiento es igual, mayor o menor que la constante de amortiguamiento crítica c₀

c₀ = 2= 2 m_n

La relación = c / c₀ es el coeficiente de amortiguamiento y representa la fracción del amortiguamiento crítico.

Si el coeficiente de amortiguamiento del sistema es menor que el crítico, < 1 (subamortiguado), la solución de la ecuación diferencial es

x = (A sen _dt + B cos _dt) = C sen (_dt + )

donde C y se definen como anteriormente. La frecuencia natural amortiguada _d se relaciona con la frecuencia natural no amortiguada _n por la expresión

_d = _n (1 - ²)^½ rad/s

Cuando c = c₀ no hay oscilación, = 1 y el amortiguamiento se llama crítico. La solución de la ecuación diferencial es

x = (A + Bt)

Cuando > 1 (sobreamortiguado), la solución de la ecuación diferencial es

x =

Este es un movimiento no oscilatorio. Si el sistema se separa de la posición de equilibrio, tiendo a retornar gradualmente a la misma.

El grado de amortiguamiento de un sistema que tenga < 1 puede definirse en términos de dos valores de pico sucesivos en un registro de oscilación libre. En efecto, sustituyendo la expresión del amortiguamiento crítico en la expresión de la vibración libre de un sistema amortiguado, se obtiene

x = C sen (_dt + )

expresión que indica que se trata de un movimiento oscilatorio exponencialmente decreciente ( amortiguado). Sean t₁ y t₂ los instantes correspondientes a dos desplazamientos consecutivos x₁ y x₂ medidos con un ciclo de separación, se puede formar el cociente

Como t₂ = t₁ + , donde = 2 / _d es el periodo de la oscilación amortiguada, se sigue que sen (_dt₁ + ) = sen (_dt₂ + ), con lo cual

De aquí se obtiene

= = _n =

donde se llama decremento logarítmico. Por tanto, para determinar la cantidad de amortiguamiento de un sistema es suficiente con medir dos desplazamientos consecutivos cualesquiera x₁ y x₂, se calcula el decremento logarítmico , tomando el logaritmo neperiano de la relación x₁ / x₂ y se obtiene de

El coeficiente de amortiguamiento también puede determinarse midiendo dos desplazamientos separados por cualquier número de ciclos completos. En efecto, sean x₁ y x_{n + 1} las amplitudes correspondientes a los instantes t₁ y t_{n + 1} = t₁ + n, donde n es un número entero, se concluye que

ya que la razón entre dos desplazamientos consecutivos cualesquiera, separados un ciclo, es igual a .

De aquí resulta para el desplazamiento logarítmico

a partir del cual se obtiene el factor de amortiguamiento viscoso .

7.0. VIBRACIÓN FORZADA

Se refiere al movimiento del sistema que tiene lugar en respuesta a una excitación continua cuya magnitud varía senoidalmente en el tiempo. La excitación puede deberse a una fuerza aplicada al sistema (generalmente la fuerza se aplica a la masa de un sistema con un sólo grado de libertad) o al movimiento de la bancada que soporta el sistema. La respuesta resultante del sistema puede expresarse de diversas maneras, dependiendo de la naturaleza de la excitación y de la utilización que se haga del resultado.

Si la excitación es una fuerza aplicada a la masa del sistema, el resultado puede expresarse en términos de a) la amplitud del movimiento resultante de la masa o b) la fracción de la amplitud de la fuerza aplicada y que se transmite a través del sistema a la bancada del mismo. El primero se transmite a través del movimiento y la última se denomina transmisibilidad de la fuerza T_F.

T_F = F_t / F = fuerza transmitida / fuerza aplicada

Si la excitación es el movimiento de la bancada, la respuesta resultante se expresa normalmente en términos de la amplitud del movimiento de la masa respecto del movimiento de la bancada. Esta se denomina transmisibilidad del movimiento T_M del sistema.

La transmisibilidad es la porción del efecto vibratorio transmitido a través del aislador. La eficacia del aislador es el porcentaje del efecto vibratorio que no se transmite, esto es _T = (1 - T) 100 %.

En general, la respuesta y las relaciones de transmisibilidad son funciones de la frecuencia de la fuerza aplicada y varían con los diferentes tipos y grados de amortiguamiento.

8.0. VIBRACIÓN FORZADA SIN AMORTIGUAMIENTO

8.1. Fuerza aplicada a la masa. Cuando se aplica una fuerza senoidal F = F₀ sen t a la masa de un sistema no amortiguado, con un sólo grado de libertad, la ecuación diferencial del movimiento es

mx" + kx = F₀ sen t

La solución de esta ecuación es

x = A sen _nt + B cos _nt +

Los dos primeros términos representan una oscilación a la frecuencia natural no amortiguada _n. El coeficiente B es el valor de x para el instante t = 0 y el coeficiente A puede hallarse a partir de la velocidad para el instante t = 0. Diferenciando y haciendo t = 0, queda

x'(0) = A_n +

y de aquí se despeja el valor de A.

La amplitud de la oscilación libre a la frecuencia natural _n disminuye gradualmente a cero en los sistemas físicos como consecuencia del amortiguamiento. La oscilación de régimen permanente a la frecuencia de la fuerza es

x =

Esta oscilación existe una vez que se ha alcanzado la condición de equilibrio, cuando desaparece la oscilación a la frecuencia natural _n y persiste tanto tiempo como se aplica la fuerza F.

La fuerza que se transmite a la bancada es directamente proporcional a la deflexión del muelle, F = kx. Sustituyendo x, dado por la ecuación anterior, y definiendo la transmisibilidad por T_F = F_t / F, resulta

T_F =

Si la masa se encuentra inicialmente en reposo en la posición de equilibrio del sistema ( por ejemplo, x = 0, x' = 0 ) para t = 0, el movimiento para un tiempo t > 0 es

x =

El término F₀ / k es la deflexión estática del muelle (fuerza aplicada / constante elástica del muelle).

Para valores grandes del tiempo, el segundo término desaparece debido al amortiguamiento inherente a cualquier sistema físico y la ecuación anterior se convierte en la de régimen permanente. Cuando la frecuencia de la fuerza coincide con la frecuencia natural no amortiguada = _n, se produce la condición de resonancia. Entonces, la ecuación anterior se hace indeterminada, resolviendo la indeterminación y teniendo en cuenta que el término correspondiente a _n debe anularse, la expresión para x queda

x = t cos t

De acuerdo con esta ecuación, la amplitud de la oscilación x aumenta continuamente con el tiempo alcanzando un valor infinitamente grande al cabo de un tiempo infinito.

8.2. Movimiento de la bancada. (Bancada, cimentación, forjado, estructura, fundación, soporte ) La ecuación diferencial del movimiento para el sistema excitado por el movimiento continuo de la bancada según u = u₀ sen t de la bancada es

mx" = - k ( x - u₀ sen t )

La solución de esta ecuación es

x = A₁ sen _nt + B₁ cos _nt + sen t

donde los coeficientes A₁ y B₁ están determinados por la velocidad y el desplazamiento de la masa, respectivamente, para el tiempo t = 0. Los términos que representan la oscilación a la frecuencia natural son finalmente amortiguados y la relación de amplitudes se define en términos de la transmisibilidad T_M

de donde, x = x₀ sen t. Así, en la vibración forzada de un sistema no amortiguado, con un sólo grado de libertad, la respuesta del movimiento, la transmisibilidad de la fuerza, y la transmisibilidad del movimiento son numéricamente iguales.

9.0. VIBRACIÓN FORZADA CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

9.1. Fuerza aplicada a la masa. La ecuación diferencial del movimiento para un sistema de un sólo grado de libertad representado en la figura 3, con amortiguamiento viscoso, y fuerza de excitación aplicada a la masa F = F₀ sen t, es

mx" + cx' + kx = F = F₀ sen t

Figura 3

Esta ecuación es la correspondiente a la obtenida para una vibración forzada de un sistema no amortiguado. Su solución es la obtenida en aquel caso, incluyendo los términos que representa la oscilación a la frecuencia natural. Sin embargo, en un sistema amortiguado, estos términos aparecen rápidamente amortiguados y solamente se considera el régimen estacionario. El movimiento resultante se produce a la frecuencia de la fuerza. Cuando la constante de amortiguamiento c es mayor que cero, la fase entre la fuerza y el movimiento resultante es diferente de cero. Así, la respuesta puede escribirse

x = R sen (t - ) = A₁ sen t + B₁ cos t

Sustituyendo esta relación en la ecuación diferencial se obtiene el resultado siguiente

= R_d sen (t - )

donde

= arc tg

y R_d es un factor de respuesta adimensional que da la relación de la amplitud del desplazamiento vibratorio al desplazamiento del muelle que debería ocurrir si la fuerza F se aplicase estáticamente. Para frecuencias muy bajas, R_d es aproximadamente igual a 1; aumenta a un valor de pico para la frecuencia próxima a _n y se aproxima a cero cuando se hace muy grande. La respuesta al desplazamiento se define para estas condiciones de frecuencia como sigue

x (F₀ / k) sen t, [ << _n ]

x = , [ = _n ]

, [ >> _n ]

Para estas tres condiciones de frecuencia, el sistema vibrante se denomina controlado por muelle, controlado por amortiguador, y controlado por masa, respectivamente, dependiendo de cual elemento sea el responsable primario del comportamiento del sistema.

La velocidad x' se puede calcular derivando la expresión del desplazamiento, obteniéndose

= R_d sen (t - )

La respuesta de aceleración se obtiene derivando la ecuación anterior

R_d cos (t - ) = R_v cos (t - )

El factor de respuesta de velocidad se aproxima a cero cuando 0 y , mientras que el factor de respuesta de aceleración se aproxima a cero cuando 0 y se aproxima a la unidad cuando .

La fuerza transmitida a la bancada del sistema es

F_T = cx' + kx

Puesto que las fuerzas cx' y kx están desfasadas 90º, la magnitud de la fuerza transmitida es

F_T =

La relación entre la fuerza transmitida F_T y la fuerza aplicada F₀ puede expresarse en términos de la transmisibilidad T_F

donde

Figura 4

En la figura 4 se representa la transmisibilidad T_F en función de la razón de las frecuencias de la fuerza y la natural no amortiguada /_n para diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento .

9.2. Movimiento de la bancada. La excitación de un sistema elástico puede deberse al movimiento u(t) de la bancada. La ecuación diferencial del movimiento del sistema es

mx" + c (x' - u') + k (x - u) = 0

Considerando que el movimiento de la bancada es un desplazamiento que varía senoidalmente con el tiempo u = u₀ sen t, el régimen estacionario se produce una vez que las oscilaciones a la frecuencia natural _n se han amortiguado. El desplazamiento x de la masa m está dado por

x = T_M u₀ sen (t - )

donde T_M y están definidos como anteriormente. Así, la transmisibilidad T_M del movimiento es idéntica a la transmisibilidad T_F de la fuerza.

9.3. Histéresis. Cuando un sistema con amortiguamiento viscoso y un solo grado de libertad tiene una oscilación definida por

x = x₀ sen t

la fuerza neta ejercida sobre la masa por el muelle y el amortiguador es

F = kx₀ sen t + cx₀ cos t

Estas ecuaciones definen la relación entre F y x. Esta relación representa una elipse. La energía disipada en un ciclo de oscilación es

EJEMPLO 1

En una máquina rotativa, la parte giratoria tiene una masa M, una masa excéntrica equivalente m y una excentricidad e. La fuerza centrífuga debida a esta masa excéntrica es f = mv²/e = me², la cual producirá una excitación no deseable. Suponiendo que la máquina sólo puede moverse verticalmente, la componente vertical de la fuerza centrífuga es me² sen t, donde es la velocidad angular de la parte giratoria de la máquina.

Si la máquina se encuentra apoyada sobre un muelle de coeficiente elástico k y un amortiguador cuya constante de amortiguamiento es c, la ecuación diferencial del movimiento del sistema es

Mx" + cx' + kx = me² sen t

Resolviendo la ecuación diferencial para el régimen estacionario se obtiene

donde _n =, y = arc tg . Por tanto, me² puede considerarse como la amplitud F₀ de la excitación armónica.

Aplicación. El rotor de un motor eléctrico pesa 9,0 kg y su centro de gravedad se encuentra desplazado 0,254 mm respecto del eje del mismo. El motor pesa 27,3 kg y se encuentra apoyado sobre cuatro muelles, los cuales tienen una constante elástica de 26,3 N / mm cada uno. Se pretende encontrar la velocidad crítica del motor y la amplitud vertical de la vibración del motor cuando este gira a una velocidad tres veces la velocidad crítica.

La constante elástica del sistema es 4 x 26,3 = 105,2 N / mm. La frecuencia natural del motor es _n = = 62 rad / s, es decir, 592 rpm. A esta velocidad de giro tendrá lugar la resonancia.

La amplitud de la fuerza debida a la excentricidad es F = me² = 79 N. Teniendo en cuenta que el coeficiente de amortiguamiento = 0, la amplitud del desplazamiento es

x_p = = 0,000094 m 0,094 mm

EJEMPLO 2

Un ventilador centrífugo pesa 44,5 kg, el producto me = 0,23 kg-m, y gira a una velocidad constante de 1.000 rpm. Los amortiguadores utilizados tienen un coeficiente de amortiguamiento = 0,2. Determinar qué muelles deben utilizarse para que sólo se transmita al forjado el 10% de la fuerza centrífuga debida al desequilibrio. Determinar también, el valor de la fuerza transmitida.

La fuerza total transmitida es la suma de las reacciones en los extremos fijos de los muelles y del amortiguador, esto es,

F_T = kx + cx'

En estado estacionario, la amplitud de la oscilación es

x_p = sen (t - )

que, por conveniencia, se puede escribir

x_p = A sen (t - )

de donde

x' = A cos (t - )

y la fuerza total es

F_T = kA sen (t - ) + cAw cos (t - )

La fuerza del muelle es máxima cuando la velocidad es igual a cero (desplazamiento máximo) y la fuerza del amortiguador es máxima cuando el desplazamiento es cero (velocidad máxima). Encontrándose en cuadratura ambas fuerzas, la fuerza resultante máxima que se transmite es A , y la fuerza transmitida es

F_T = A cos (t + )

donde = arc tg c / k.

La transmisibilidad T es la razón de la fuerza transmitida máxima a la fuerza aplicada

T = cos (t + )

Para la vibración estacionaria, se tiene

T =

de donde

0,1 =

de aquí resulta resolviendo esta ecuación / _n = 4,72, con lo que la velocidad de resonancia es _n = 22,19 rad / s.

La constante elástica del sistema será k = m _n² = 21.904,5 N / m, para cada muelle k_m = 5.476,125 N / m.

La amplitud de la fuerza transmitida es F_T = 0,1·me² = 252,22 N.

10.0. GRADOS DE LIBERTAD

Algunas veces, un sistema elástico no puede describirse adecuadamente por un modelo que tenga solamente una masa sino que debe representarse por un modelo que tenga dos o más masas puntuales o partículas que no tengan inercia rotacional. Si un grupo de partículas se mantienen juntas por uniones esencialmente rígidas, se comporta como un cuerpo rígido que tenga masa (para el movimiento traslacional) y momento de inercia (para el movimiento rotacional). No hay límite para el número de masas que pueden usarse para representar un sistema.

El número de coordenadas independientes necesarias para definir las distancias de todas las masas a sus posiciones de referencia y describir completamente el movimiento del sistema se llama número de grados de libertad N. Por ejemplo, si hay N masas en un sistema ligado a moverse solamente según las direcciones X e Y, el sistema tiene 2N grados de libertad. Un sistema continuo, tal como una viga, tiene un número infinito de grados de libertad.

La formulación matemática de un sistema con N grados de libertad consiste en un sistema de N ecuaciones diferenciales ordinarias. Para cada grado de libertad (coordenada del movimiento de cada masa) se escribe una ecuación diferencial en una de las siguientes formas alternativas

m_jx_j = F_xj o I_kk = T_k

donde F_xj es la componente en la dirección X de todas las fuerzas externas, muelle, amortiguador que actúan sobre la masa que tiene el j-ésimo grado de libertad, y T_k es la componente alrededor del eje de todos los pares que actúan sobre el cuerpo que tiene el k-ésimo grado de libertad. El momento de inercia de la masa alrededor del eje se designa por I_k. Así, los términos que definen el movimiento del sistema (desplazamiento, velocidad y aceleración) y las deflexiones de las estructuras pueden ser traslaciones o rotaciones, dependiendo del tipo de coordenada. Por ejemplo, si un sistema tiene N cuerpos, cada uno libre de moverse en tres modos traslacionales y tres modos rotacionales, habrá 6N ecuaciones, una por cada grado de libertad.

El primer paso para analizar cualquier estructura física es representarla por un modelo matemático que tenga esencialmente el mismo comportamiento dinámico. Debe tomarse un número conveniente y una distribución adecuada de masas, muelles y amortiguadores, y definir las fuerzas aplicadas o el movimiento de la bancada. El modelo debe tener suficiente número de grados de libertad para determinar los modos que tengan una respuesta significativa a la fuerza de excitación o al movimiento.

Las propiedades del sistema que deben conocerse son las frecuencias naturales _n, las formas de los modos normales, el amortiguamiento de los respectivos modos, y la distribución de las masas m_j.

11.0. SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

Para un sistema con dos grados de libertad existen dos ecuaciones de movimiento, una para cada masa. Para un sistema con dos grados de libertad hay dos frecuencias naturales. Estas se encuentran resolviendo las ecuaciones de frecuencia de los sistemas sin amortiguamiento o la ecuación característica de los sistemas amortiguados.

Cuando las masas de un sistema oscilan de tal forma que alcanzan simultáneamente los desplazamientos máximos y pasan por sus puntos de equilibrio, también simultáneamente, es decir, todas las partes móviles del sistema oscilan en fase con una frecuencia determinada, tal estado de movimiento se llama modo normal o principal de vibración.

La vibración en una parte del sistema induce otra vibración en otra parte del mismo debido a la fuerza transmitida a través del muelle o del amortiguador de acoplamiento. Es decir, cuando una masa se mueve, su desplazamiento afecta a la otra masa del sistema, puesto que están acopladas. Hay dos tipos de acoplamiento: el acoplamiento estático, debido al desplazamiento estático, y el acoplamiento dinámico, debido a las fuerzas dinámicas.

Figura 5

Considerando un sistema con dos grados de libertad como el representado en la figura 5, con amortiguamiento viscoso, las ecuaciones diferenciales del modelo matemático pueden escribirse fácilmente. El sistema está totalmente descrito por las dos coordenadas x₁ y x₂, que dan las posiciones de las masas m₁ y m₂, respectivamente, para el tiempo t. Los desplazamientos x₁ y x₂ son suficientemente pequeños para que el sistema se comporte linealmente. Las ecuaciones diferenciales del movimiento se pueden escribir fácilmente aplicando la segunda ley de Newton a las masas m₁ y m₂. Sumando las fuerzas aplicadas en dirección vertical a cada una de las masas, se pueden escribir las dos ecuaciones diferenciales del sistema dinámico

F₁(t) - c₁x₁(t) + c₂[x'₂(t) - x'₁(t)] + k₂ [x₂(t) - x₁(t)] = m₁x"₁(t)

F₂(t) - c₂[x'₂(t) - x'₁(t)] - k₂ [x₂(t) - x₁(t)] = m₂x"₂(t)

que pueden reordenarse en la forma

m₁x"₁(t) + (c₁ + c₂) x'₁(t) - c₂x'₂(t) + (k₁ + k₂) x₁(t) - k₂x₂(t) = F₁(t)

m₂x"₂(t) - c₂x'₁(t) + c₂x'₂(t) - k₂x₁(t) + k₂x₂(t) = F₂(t)

Conviene notar que dichas ecuaciones no son independientes, puesto que la primera ecuación contiene los términos x'₂(t) y x₂(t), mientras que la segunda contiene los términos x'₁(t) y x₁(t). Esto se expresa diciendo que constituyen un sistema de ecuaciones acopladas. En este sistema de ecuaciones, los términos de acoplamiento son los - c₂x'₂(t) y - k₂x₂(t) para la primera ecuación y - c₂x'₁(t) y - k₂x₁(t) para la segunda ecuación, de manera que los términos de acoplamiento de la velocidad tienen el coeficiente - c₂ y los términos de acoplamiento del desplazamiento tienen el coeficiente - k₂. Por tanto, se puede esperar que el movimiento de la masa m₁ va a influir sobre el movimiento de la masa m₂, y viceversa, excepto para el caso en que c₂ = k₂ = 0, en cuyo caso las ecuaciones del movimiento son independientes la una de la otra. Este caso no presenta ningún interés puesto que entonces ya no se tiene un único sistema con dos grados de libertad, sino dos sistemas independientes con un sólo grado de libertad cada uno.

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir convenientemente en forma matricial

= [m],= [c], = [k]

donde las matrices constantes [m], [c] y [k] de los coeficientes se conocen como matriz de masas, matriz de amortiguamiento, y matriz elástica, respectivamente, y

= [x(t)], = [F(t)]

son dos matrices columna de 2 filas que representan el vector desplazamiento y el vector fuerza, respectivamente. Por tanto, el sistema de las dos ecuaciones diferenciales se pueden escribir en forma matricial como

[m][x"(t)] + [c][x'(t)] + [k][x(t)] = [F(t)]

Es fácil ver cómo los elementos de la diagonal secundaria de las matrices [m], [c] y [k] satisfacen a m₁₂ = m₂₁ = 0, c₁₂ = c₂₁ = - c₂, k₁₂ = k₂₁ = - k₂, lo cual indica que las matrices son simétricas.

La solución de la ecuación matricial para un vector fuerza arbitrario es difícil de obtener. La dificultad estriba en el hecho de que ambas ecuaciones no son independientes. Sin embargo, existen casos, especialmente cuando la fuerza aplicada es armónica, en la cual la solución se puede hallar de una forma relativamente fácil.

La ecuación matricial anterior se puede escribir en forma expandida

m₁₁x"₁ + m₁₂x"₂ + c₁₁x'₁ + c₁₂x'₂ + k₁₁x₁ + k₁₂x₂ = F₁(t)

m₁₂x"₁ + m₂₂x"₂ + c₁₂x'₁ + c₂₂x'₂ + k₁₂x₁ + k₂₂x₂ = F₂(t)

donde la diagonal de la matriz de masas ha sido sustituida por una matriz simétrica no diagonal más general.

Considerando las siguientes excitaciones armónicas

F₁(t) = F₁e^jt, F₂(t) = F₂e^jt

y escribiendo las respuestas de régimen estacionario como

x₁(t) = X₁e^jt, x₂(t) = X₂e^jt

donde X₁ y X₂ son en general cantidades complejas que dependen de la frecuencia de excitación y de los parámetros del sistema. Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones de movimiento del sistema queda

(-²m₁₁ + jc₁₁ +k₁₁) X₁ + (-²m₁₂ + jc₁₂ + k₁₂) X₂ = F₁

(-²m₁₂ + jc₁₂ +k₁₂) X₁ + (-²m₂₂ + jc₂₂ +k₂₂) X₂ = F₂

Introduciendo la notación

Z_ij = -²m_ij + jc_ij +k_ij, i, j = 1, 2

donde las funciones Z_ij() se conocen como impedancias. Estas ecuaciones se pueden escribir en forma compacta como

[Z()] [X] = [F]

donde [Z()] se llama matriz de impedancias, [X] es la matriz columna de las amplitudes de los desplazamientos, y [F] es la matriz columna de las amplitudes de las excitaciones.

La solución de la ecuación matricial se puede obtener premultiplicando ambos miembros de la ecuación matricial por la inversa [Z()]^-1 de la matriz de impedancias [Z()], con el resultado de

[X] = [Z()]^-1[F]

donde la inversa [Z()]^-1 puede escribirse en la forma

[Z()]^-1 = =

Realizando la multiplicación de las matrices se puede escribir

X₁() =

X₂() =

que dan las amplitudes de los desplazamientos de cada una de las masas en función de la frecuencia, de las impedancias y de las fuerzas aplicadas.

11.1. Vibración libre sin amortiguamiento. Sea el sistema formado por dos masas m₁ y m₂ cuyas coordenadas para el tiempo t son x₁ y x₂, representado en la figura 6.

Figura 6

Las ecuaciones diferenciales del movimiento son

m₁x₁" + k₁x₁ + k₂ (x₁ - x₂) = 0

m₂x₂" + k₂ (x₂ - x₁) = 0

que se puede escribir

m₁x₁" + (k₁ + k₂) x₁ - k₂x₂ = 0

m₂x₂" + k₂x₂ - k₁x₁ = 0

Suponiendo que el movimiento es oscilatorio y se compone de movimientos armónicos de diferentes amplitudes y frecuencias, sean estos

x₁ = A sen (t + ), x₂ = B sen (t + )

donde A, B y son constantes arbitrarias y es una de las frecuencias naturales del sistema. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones diferenciales del movimiento, se obtiene

- m₁ A² sen (t + ) + (k₁ + k₂) A sen (t + ) - k₂ B sen (t + ) = 0

- m₂ B² sen (t + ) + k₂ B sen (t + ) - k₁ A sen (t + ) = 0

Dividiendo por sen (t + ), las ecuaciones anteriores se convierten en

(k₁ + k₂ - m₁²) A - k₂ B = 0

- k₂ A + (k₂ - m₂²) B = 0

Estas son ecuaciones algebraicas linealmente homogéneas en A y B. La solución trivial A = B = 0, conduce a la condición de equilibrio del sistema. La otra solución se obtiene de igualar a cero el determinante de los coeficientes de A y B, es decir

= 0

El desarrollo del determinante da

⁴ - ² + = 0

que es la ecuación de frecuencia del sistema, la cual resuelta da

² =

De manera que la solución general de las ecuaciones del movimiento se compone de dos movimientos armónicos de frecuencias ₁ y ₂. Las soluciones son

x₁ = A₁ sen (₁t + ₁) + A₂ sen (₂t + ₂)

x₂ = B₁ sen (₁t + ₁) + B₂ sen (₂t + ₂)

donde las constantes A₁, A₂, B₁, B_2, ₁ y ₂ son arbitrarias a determinar a partir de las condiciones iniciales

11.2. Vibración forzada sin amortiguamiento. En la figura 7 se representa un sistema excitado armónicamente por la fuerza F₀ sen t aplicada a la masa m₁.

Figura 7

Las ecuaciones del movimiento son

m₁x₁" + (k₁ + k₂) x₁ - k₂x₂ = F₀ sen t

m₂x₂" + k₂x₂ - k₁x₁ = 0

Sustituyendo F₀ sen t por Im F₀e^jt, x₁ por Im X₁e^jt y x₂ por Im X₂e^jt, las ecuaciones del movimiento se convierten en

m₁j²²X₁e^jt + (k₁ + k₂)X₁e^jt - k₂ X₂e^jt = F₀e^jt

m₂j²²X₂e^jt + k₂X₂e^jt - k₂ X₁e^jt = 0

donde j = . Dividiendo por e^jt y cambiando el orden de los términos, se obtiene

(k₁ + k₂ - m₁²)X₁ - k₂ X₂ = F₀

- k₂ X₁ + (k₂ - m₁²)X₂ = 0

sistema de ecuaciones que resuelto por la regla de Cramer da

X₁ =

X₂ =

o bien

X₁ =

X₂ =

de donde la respuesta temporal es

x₁(t) = sen t

x₂(t) = sen t

11.3. Absorción dinámica de vibraciones. Cuando una máquina rotativa gira a una velocidad constante próxima a la frecuencia de resonancia, se producen unas vibraciones muy violentas. Suponiendo que el sistema se puede representar como uno de un sólo grado de libertad, sometido a la acción de una excitación armónica, la situación puede aliviarse variando la masa o cambiando el muelle. Sin embargo, esto no es siempre posible. Una segunda solución consiste en añadir una segunda masa con un muelle, para convertir el sistema en uno con dos grados de libertad cuya respuesta en frecuencia sea cero para la frecuencia de excitación. Aunque esto introduce otras frecuencias, estas generalmente no presentan problema puesto que las mismas difieren de la frecuencia de trabajo.

Sea el sistema representado en la figura 8 en el cual la masa M aparece excitada por la fuerza aplicada a la misma F₀ sen t. A la misma se le añade un conjunto masa-muelle auxiliar.

Figura 8

Las ecuaciones del movimiento son

Mx"₁ + k₁x₁ + k₂(x₁ - x₂) = F₀ sen t

mx"₂ + k₂(x₂ - x₁) = 0

Sea x₁ = A sen t y x₂ = B sen t, entonces x"₁ = - ²A sen t, y x"₂ = - ²B sen t. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones del movimiento, se tiene

(k₁ + k₂ - M²) A - k₂ B = F₀

- k₂ A + (k₂ - m²) B = 0

Resolviendo, resulta

A =

Para anular la amplitud de oscilación de la masa M, es decir, para que A = 0, debe ser (k₂ - m²) = 0, por lo que k₂ = m², y ² = k₂ / m. Por tanto, se debe diseñar el absorbedor de modo que su frecuencia natural sea igual a la frecuencia de la fuerza aplicada. Cuando esto sucede, la amplitud de la vibración de la masa M es prácticamente cero. En general, un absorbedor se usa únicamente cuando la frecuencia natural del sistema original es casi igual a la frecuencia de la fuerza de excitación. Por consiguiente, k₁ / M = k₂ / m es aproximadamente cierto para el sistema completo.

Aunque el absorbedor de vibración mediante masa auxiliar se diseña para una frecuencia dada de trabajo , el absorbedor puede funcionar satisfactoriamente para frecuencias que difieran ligeramente de . En este caso, la amplitud del desplazamiento de M no es cero, pero es muy pequeña.

Debe tenerse en cuenta que cualquier máquina rotativa aumenta su frecuencia durante el arranque, por lo tanto el sistema pasará eventualmente a través de su primera frecuencia de resonancia.

11.4. Sistema excitado por el movimiento de la bancada. Sea el sistema representado en la figura 9, en el cual la bancada o forjado se desplaza según un movimiento armónico dado por u(t) = u₀ cos t.